题目内容
已知向量
=（a+b，c）与
=（cosA+cosB，cosC）共线，其中a、b、c为△ABC的内角A、B、C的对边．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为
，求|m|的最小值．
| m |
| n |
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为
| 3 |
考点：平面向量数量积的运算,正弦定理
专题：解三角形,平面向量及应用
分析：（1）利用向量共线定理、正弦定理、三角形的内角和定理即可得出；
（2）由
absin
=
，可得ab=4．由余弦定理可得：c2=a2+b2-ab，再利用数量积运算性质可得|
|=
=
，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）由
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| m |
| (a+b)2+c2 |
| 2a2+2b2+ab |
解答：
解：（1）∵向量
=（a+b，c）与
=（cosA+cosB，cosC）共线，
∴c（cosA+cosB）=（a+b）cosC，
由正弦定理可得：sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，∴sin（A-C）=sin（C-B），
∵A、B、C为△ABC的内角，∴A-C=C-B，化为A+B=2C，∵A+B+C=π，∴C=
．
（2）∵
absin
=
，∴ab=4．由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos
=a2+b2-ab，
∴|
|=
=
≥
=
=2
，当且仅当a=b=2时取等号．
∴|
|的最小值为2
．
| m |
| n |
∴c（cosA+cosB）=（a+b）cosC，
由正弦定理可得：sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，∴sin（A-C）=sin（C-B），
∵A、B、C为△ABC的内角，∴A-C=C-B，化为A+B=2C，∵A+B+C=π，∴C=
| π |
| 3 |
（2）∵
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴|
| m |
| (a+b)2+c2 |
| 2a2+2b2+ab |
| 5ab |
| 20 |
| 5 |
∴|
| m |
| 5 |
点评：本题考查了向量共线定理、正弦定理、三角形的内角和定理、三角形的面积计算公式、余弦定理、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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