Question

若方程

2x-x2

=kx-2k+2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：将问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图象，结合图象，从而求出k的范围．

解答： 解：设y=f（x）=

2x-x2

，（y≥0，0≤x≤2）；即（x-1）²+y²=1 （半圆），
y=h（x）=kx-2k+2 （x∈R） 即y-2=k（x-2），直线恒过点M（2，2），
∵方程f（x）=h（x）有两个不同的实数根，（k＞0）即y=f（x）和y=h（x）有两个不同的交点，
画出f（x），h（x）的图象，如图示：
，
当直线h（x）是OM时，斜率K=1，
当直线h（x）和半圆相切时，斜率k=

3

4

，
故答案为（

3

4

，1]．

点评：本题考查了函数的零点问题，考查了转化思想，是一道中档题．