Question

某中学高三（10）班有女同学51名，男同学17名，“五四”期间该班班主任按分层抽样的分法组建了一个由4名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组．
（Ⅰ）演讲比赛中，该小组决定先选出两名同学演讲，选取方法是：先从小组里选出1名演讲，该同学演讲完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲，求选中的两名同学恰有一名女同学的概率；
（Ⅱ）演讲结束后，5位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是：69、71、72、73、75分，给出第二个演讲同学的成绩分别是：70、71、71、73、75分，请问哪位同学的演讲成绩更稳定，并说明理由．

Answer 1

考点：极差、方差与标准差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意推导出演讲小组中男同学有1人，女同学有3人．由此能求出选出的两名同学恰有一名女同学的概率．
（Ⅱ）由已知条件分别求出两个演讲的同学的方差，由此能求出哪位同学的成绩更稳定．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知：P=

4

51+17

=

1

17

．
设演讲比赛小组中有x名男同学，则6817=4x，
∴x=1，
∴演讲小组中男同学有1人，女同学有3人．
把3名女生和1名男生分别记为a₁，a₂，a₃，b，
则选取两名同学的基本事件有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b），
（a₂，a₁），（a₂，a₃），（a₂，b），（a₃，a₁），（a₃，a₂），
（a₃，b），（b，a₁），（b，a₂），（b，a₃）共12种．
其中恰有一名女同学的情况有6种，
所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为P=

6

12

=

1

2

．（7分）
（Ⅱ）-x₁=51×（69+71+72+73+75）=72，
-x₂=51×（70+71+71+73+75）=72，
S12=51×[（69-72）²+（71-72）²+（72-72）²+（73-72）²+（75-72）²]=4，
S22=51×[（70-72）²+（71-72）²+（71-72）²+（73-72）²+（75-72）²]=3.2．
因此第二个演讲的同学成绩更稳定．（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查哪位同学的成绩更稳定的求法，是中档题，解题时要注意列举法的合理运用．