题目内容
已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于
，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）
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| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）抛物线x2=4y的焦点为（0，1），可得c=1．再利用
，即可得出．
（2）利用三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线l的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2-1）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可得出．
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（2）利用三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线l的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2-1）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可得出．
解答：
解：（1）设椭圆方程为
+
=1(a＞b＞0)，
抛物线x2=4y的焦点为（0，1），
由
⇒a=
，
∴椭圆方程为
+y2=1．
（2）假设存在直线l，使得点F是△BMN的垂心．
易知直线BF的斜率为-1，从而直线l的斜率为1．
设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4mx+2（m2-1）=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-
m，x1x2=
．
于是
•
=（1-x2）x1-y2（y1-1）
=x1+y2-x1x2-y1y2
=x1+x2+m-x1x2-（x1+m）（x2+m）
=-2x1x2+（1-m）（x1+x2）+m-m2
=
+(1-m)(-
)+m-m2=0，
解之得m=1或m=-
．
当m=1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意；
当m=-
时，经检验符合题意．
∴当且仅当直线l的方程为y=x-
时，点F是△BMN的垂心．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
抛物线x2=4y的焦点为（0，1），
由
|
| 2 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 2 |
（2）假设存在直线l，使得点F是△BMN的垂心．
易知直线BF的斜率为-1，从而直线l的斜率为1．
设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4mx+2（m2-1）=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-
| 4 |
| 3 |
| 2m2-2 |
| 3 |
于是
| NF |
| BM |
=x1+y2-x1x2-y1y2
=x1+x2+m-x1x2-（x1+m）（x2+m）
=-2x1x2+（1-m）（x1+x2）+m-m2
=
| -2(2m2-2) |
| 3 |
| 4m |
| 3 |
解之得m=1或m=-
| 4 |
| 3 |
当m=1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意；
当m=-
| 4 |
| 3 |
∴当且仅当直线l的方程为y=x-
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若m∥α，n∥α，则m∥n；
③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
其中正确命题的序号是（ ）
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若m∥α，n∥α，则m∥n；
③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
其中正确命题的序号是（ ）
| A、①和③ | B、②和③ |
| C、②和④ | D、①和④ |
如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆