Question

已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1．求证：
（1）数列{a_n+1-2a_n}和{a_n+1-

1

2

a_n}都是等比数列；
（2）求数列{2^n-3a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）2（a_n+a_n+2）=5a_n+1．求可得2（a_n+2-2a_n+1）=a_n+1-2a_n，a_n+2-

1

2

a_n+1=2（a_n+1-

1

2

a_n），根据等比数列的定义判定出数列都是等比数列；
（2）由（1）解的a_n，再求出2^n-3a_n=

2

3

（2-2^2n-5），再求出前n项和．

解答： 解：（1）∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，
∴2a_n+2a_n+2=5a_n+1，
∴2（a_n+2-2a_n+1）=a_n+1-2a_n，
∴

an+2-2an+1

an+1-2an

=

1

2

，
∴a₂-2a₁=2-2×5=-8，
∴{a_n+1-2a_n}是以-8为首项，

1

2

为公比的等比数列；
∴a_n+1-2a_n=-8×(

1

2

)n-1①
∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，
∴a_n+2-

1

2

a_n+1=2（a_n+1-

1

2

a_n）
∴

an+2- 1 2 an+1

an+1- 1 2 an

=2，
∴a₂-

1

2

a₁=2-

1

2

×5=-

1

2

，
∴{a_n+1-

1

2

a_n}是以-

1

2

为首项，2为公比的等比数列；
∴a_n+1-

1

2

a_n=-

1

2

×2n-1②，
（2）由（1）知a_n+1-2a_n=-8×(

1

2

)n-1①
a_n+1-

1

2

a_n=-

1

2

×2n-1②，
由①②解得
a_n=

2

3

（2^4-n-2^n-2），
验证a₁=5，a₂=2适合上式，
∴2^n-3a_n═

2

3

（2^4-n-2^n-2）•2^n-3=

2

3

（2-2^2n-5）
∴S_n=

2

3

（2-2^-3）+

2

3

（2-2^-1）+

2

3

（2-2）+…+

2

3

（（2-2^2n-5）=

2

3

[2n-（2^-3+2^-1+2+…+2^2n-5）]=

2

3

[2n-

1 8 (1-4n)

1-4

]=

4n

3

+

4n

36

-

1

36

点评：本题主要考查了等比关系的确定，等比数列的求和问题．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握，属于中档题