题目内容

5．设A1，A2，A3，…，An是集合{1，2，3，…，n}的n个非空子集（n≥2），定义aij=$\left\{\begin{array}{l}{0{，A}_{i}∩{A}_{j}=∅}\\{1，{A}_{i}∩{A}_{j}≠∅}\end{array}\right.$，其中i，j=1，2，…，n，这样得到的n2个数之和记为S（A1，A2，A3，…，An），简记为S，下列三种说法：①S与n的奇偶性相同；②S是n的倍数；③S的最小值为n，最大值为n2．其中正确的判断是（　　）
A．①②B．①③C．②③D．③

分析 由集合的子集的概念和规定第i行与第j列的数为aij=$\left\{\begin{array}{l}{0{，A}_{i}∩{A}_{j}=∅}\\{1，{A}_{i}∩{A}_{j}≠∅}\end{array}\right.$，其中i，j=1，2，…，n，对选项一一判断即可．

解答 解：把aij按其脚注排成一个数阵的话，如下，对角线上全是1，对角线外，1成对出现，如下：

（1）a11=a22=…=ann=1；
（2）当i≠j时，若aij=1，则aij=1；
若aij=0，则aij=0；
即对角线上全是1，对角线外，1成对出现，
所以，S=n+2k，k是某一个非负整数，
即：S与n的奇偶性一致，且S最小值是n，
又因为，当A1=A2=…=An时，S=n2．
故①③是正确的．
故选：B．

点评 本题考查集合的子集的概念，考查简单的合情推理，以及对规定的理解和运用，属于中档题．

练习册系列答案
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（Ⅱ）请证明你的猜想．
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