题目内容
14．已知A=$\frac{3}{{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s}}}$，B=$\frac{p+q+s}{3}$（ p，q，s∈（0，+∞））（Ⅰ）分别就$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=1}\\{s=1}\end{array}}$和$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\\{s=1}\end{array}}$判断A与B的大小关系，并由此猜想：对于任意的正数p，q，s，A与B的大小关系及等号成立的条件；
（Ⅱ）请证明你的猜想．
分析 （1）计算$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=1}\\{s=1}\end{array}}\right.$和$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\\{s=1}\end{array}}\right.$时，对应A的值，由此猜想：A≤B，当且仅当p=q=s时取得等号；
（2）用分析法证明结论成立即可．
解答 解：（1）当$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=1}\\{s=1}\end{array}}\right.$时，A=B=1，…（1分）
当$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\\{s=1}\end{array}}\right.$时，$A=\frac{6}{5}＜B=\frac{4}{3}$；…（3分）
对于任意的p，q，s∈（0，+∞），
猜想：A≤B，当且仅当p=q=s时取得等号；…（6分）
（2）证明如下：对于p，q，s∈（0，+∞），
要证$\frac{3}{{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s}}}≤\frac{p+q+s}{3}$成立，…（7分）
只需证：$9≤（p+q+s）（\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s}）$，
只需证：$9≤3+\frac{p}{q}+\frac{p}{s}+\frac{q}{p}+\frac{q}{s}+\frac{s}{p}+\frac{s}{q}$，
即证：$6≤（\frac{p}{q}+\frac{q}{p}）+（\frac{p}{s}+\frac{s}{p}）+（\frac{q}{s}+\frac{s}{q}）$（*）；…（10分）
∵对于p，q，s∈（0，+∞），有$\frac{p}{q}+\frac{q}{p}≥2$，
同理：$\frac{p}{s}+\frac{s}{p}≥2，\frac{q}{s}+\frac{s}{q}≥2$；
∴不等式（*）显然成立；…（11分）
要使（*）的等号成立，必须p=q=s时等号成立；
所以原不等式成立．…（12分）
（其他证明方法酌情给分）
点评 本题考查了推理与证明的应用问题，也考查了归纳猜想的应用问题，是综合性题目．
已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2PA，E是线段BC的中点．| A． | k-1 | B． | k | C． | k+1 | D． | k2 |