Question

已知在平面内点P满足|PM|-|PN|=2

2

，M（-2，0），N（ 2，0 ），O（0，0）
（1）求点P的轨迹S；
（2）直线y=k（x-2）与S交于点A，B，利用k表示△OAB的面积函数表达式．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,函数解析式的求解及常用方法,双曲线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）联系双曲线的第一定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2

2

的双曲线右支，即可求出点P的轨迹S；
（2）直线y=k（x-2）与S交与点A，B，结合渐近线的斜率可得k＞1或k＜-1，联立y=k（x-2）与x²-y²=2（x＞0），消元，利用韦达定理，结合弦长公式，求出|AB|，求出点O到直线AB的距离，即可得到△OAB的面积函数表达式．

解答： 解：（1）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2

2

的双曲线右支．
因此半焦距c=2，实半轴a=

2

，从而虚半轴b=

2

，
可得点P的轨迹S是双曲线的右支：x²-y²=2（x＞0）
（2）因为直线y=k（x-2）与S交与点A，B，结合渐近线的斜率可得k＞1或k＜-1
联立y=k（x-2）与x²-y²=2（x＞0），消元，可得：(1-k2)x_+4k2x-4k2-2=0，
故x1+x2=-

4k2

1-k2

，x1x2=-

4k2+2

1-k2

弦长|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 4k2 1-k2 )2+ 16k2+8 1-k2

=2

2

k2+1

k2-1

又点O到直线AB的距离d=

|-2k|

1+k2

，
∴S△OAB=

1

2

|AB|•d=

|k|

1+k2

•2

2

k2+1

k2-1

=2

2

|k| 1+k2

k2-1

因此，△OAB的面积函数表达式：S△OAB=

2 2 |k| 1+k2

k2-1

，k∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查双曲线的定义，考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．