Question

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，b=5，C=

2π

3

．
（1）求c和sinA的值．
（2）求cos（2A+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理、余弦定理即可得出．
（2）利用倍角公式、两角和差的余弦公式即可得出．

解答： 解：（1）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=32+52-2×3×5×(-

1

2

)=49，解得c=7．
由正弦定理可得：

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinA=

asinC

c

=

3×sin 2π 3

7

=

3 3

14

．
（2）cos2A=1-2sin²A=1-2×(

3 3

14

)2=

71

98

．
∴sin2A=

1-cos22A

=

13 21

98

．
∴cos（2A+

π

6

）=cos2Acos

π

6

-sin2Asin

π

6

=

71

98

×

3

2

-

13 21

98

×

1

2

=

71 3 -13 21

196

．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的余弦公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．