Question

已知首项为

3

2

，公比不等于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且-2S₂，S₃，4S₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=n|a_n|，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n+b_n＜6．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由-2S₂，S₃，4S₄成等差数列得到2S₃=-2S₂+4S₄，转化为a₃，a₄的关系即可求得公比，则等比数列的通项公式可求．或是把2S₃=-2S₂+4S₄代入等比数列的前n项和公式求公比，然后由等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=n|a_n|，化简后由错位相减法求得数列{b_n}的前n项和为T_n，即可证得T_n+b_n＜6．

解答： （1）解：由题意得2S₃=-2S₂+4S₄，
即（S₄-S₂）+（S₄-S₃）=0，
即（a₄+a₃）+a₄=0．
∴

a4

a3

=-

1

2

．
∴公比q=-

1

2

．
则an=

3

2

×(-

1

2

)n-1．
另解：由题意得2S₃=-2S₂+4S₄，q≠1，
∴

a1(1-q3)

1-q

=-

a1(1-q2)

1-q

+

2a1(1-q4)

1-q

．
化简得2q²-q-1=0，解得q=-

1

2

，
∴an=

3

2

×(-

1

2

)n-1；
（2）证明：bn=n|an|=n•

3

2

•(

1

2

)n-1=

3n

2n

，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=

3

21

+

6

22

+

9

23

+…+

3n

2n

，①

1

2

Tn=

3

22

+

6

23

+…+

3(n-1)

2n

+

3n

2n+1

，②
①-②得，

1

2

Tn=

3

21

+

3

22

+

3

23

+…+

3

2n

-

3n

2n+1

=3×

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

3n

2n+1

=3-

3n+6

2n+1

，
∴Tn=6-

3n+6

2n

．
∴Tn+bn=6-

6

2n

＜6．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．