Question

16．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）-f（x）＜-2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e^x+2的解集是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 问题转化为$\frac{f（x）}{e^x}-\frac{2}{e^x}-1＞0$，令$g（x）=\frac{f（x）-2}{e^x}-1$，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．

解答 解：f（x）＞e^x+2转化为：
$\frac{f（x）}{e^x}-\frac{2}{e^x}-1＞0$，
令$g（x）=\frac{f（x）-2}{e^x}-1$，
则$g'（x）=\frac{f'（x）-f（x）+2}{e^x}＜0$，
∴g（x）在R上单调递减，
又∵$g（0）=\frac{f（0）}{e^o}-\frac{2}{e^o}-1=0$
∴g（x）＞0的解集为（-∞，0），
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．