在直角坐标系xOy中.直线${C 1}:y=\sqrt{3}x$.曲线C2的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+cosθ\\ y=-2+sinθ\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1的极坐标方程和C2的普通方程,(2)把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转$\frac{� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

7．在直角坐标系xOy中，直线${C_1}：y=\sqrt{3}x$，曲线C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+cosθ\\ y=-2+sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C₁的极坐标方程和C₂的普通方程；
（2）把C₁绕坐标原点沿逆时针方向旋转$\frac{π}{3}$得到直线C₃，C₃与C₂交于A，B两点，求|AB|．

分析（1）由直线C₁的直角坐标方程能求出直线C₁的极坐标方程，曲线C₂的参数方程消去参数θ，能求出曲线C₂的普通方程．
（2）把C₁绕坐标原点沿逆时针方向旋转$\frac{π}{3}$得到直线C₃的极坐标方程为$θ=\frac{2π}{3}（ρ∈R）$，化为直角坐标方程为$y=-\sqrt{3}x$．求出圆C₂的圆心（$\sqrt{3}$，2）到直线C₃：$\sqrt{3}x+y=0$的距离，由此利用勾股定理能求出|AB|．

解答解：（1）∵直线${C_1}：y=\sqrt{3}x$，
∴直线C₁的极坐标方程为$ρsinθ=\sqrt{3}ρcosθ，即θ=\frac{π}{3}（ρ∈R）$，
∵曲线C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+cosθ\\ y=-2+sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
∴消去参数θ，得曲线C₂的普通方程为${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y+2）^2}=1$．
（2）∵把C₁绕坐标原点沿逆时针方向旋转$\frac{π}{3}$得到直线C₃，
∴C₃的极坐标方程为$θ=\frac{2π}{3}（ρ∈R）$，化为直角坐标方程为$y=-\sqrt{3}x$．
圆C₂的圆心（$\sqrt{3}$，2）到直线C₃：$\sqrt{3}x+y=0$的距离：
$d=\frac{{|{-3+2}|}}{2}=\frac{1}{2}$．
∴$|{AB}|=2\sqrt{{1^2}-\frac{1}{4}}=\sqrt{3}$．

点评本题考查直线的极坐标方程的求法，考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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