Question

5．不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤2x\\ y-\frac{1}{2}x≥0\\ x+y≤k\end{array}\right.$表示的区域面积大于或等于$\frac{3}{2}$，则实数k的取值范围是（　　）

• A． k≥1
• B． k≥2
• C． k≥3
• D． k≥4

Answer 1

分析 画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}y≤2x\\ y-\frac{1}{2}x≥0\\ x+y≤k\end{array}\right.$表示的平面区域，求出区域面积，利用面积列不等式求k的取值范围．

解答 解：画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}y≤2x\\ y-\frac{1}{2}x≥0\\ x+y≤k\end{array}\right.$表示的平面区域如图阴影部分所示；

由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=k}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{k}{3}$，$\frac{2k}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{1}{2}x=0}\\{x+y=k}\end{array}\right.$，解得点B（$\frac{2k}{3}$，$\frac{k}{3}$）；
所以阴影部分面积为
S=S_△OAC-S_△OBC=$\frac{1}{2}$•k•$\frac{2k}{3}$-$\frac{1}{2}$•k•$\frac{k}{3}$=$\frac{{k}^{2}}{3}$-$\frac{{k}^{2}}{6}$=$\frac{{k}^{2}}{6}$，
令$\frac{{k}^{2}}{6}$≥$\frac{3}{2}$，解得k≥3或k≤-3（不合题意，舍去）；
所以实数k的取值范围是k≥3．
故选：C．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，也考查了数形结合思想，是综合题．