已知{an}是公差为d的等差数列.{bn} 是公比为q的等比数列.q≠±1.正整数组E=(1)若a1+b2=a2+b3=a3+b1.求q的值,(2)若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列.且am+bp=ap+br=ar+bm.求q的最大值．(3)若bn=n-1.am+bm=ap+bp=ar+br=0.试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式an．(注:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n} 是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）
（1）若a₁+b₂=a₂+b₃=a₃+b₁，求q的值；
（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a_m+b_p=a_p+b_r=a_r+b_m，求q的最大值．
（3）若b_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，a_m+b_m=a_p+b_p=a_r+b_r=0，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式a_n．（注：本小问不必写出解答过程）

分析（1）由a₁+b₂=a₂+b₃=a₃+b₁，利用等差数列与等比数列的通项公式可得：a₁+b₁q=${a}_{1}+d+{b}_{1}{q}^{2}$=a₁+2d+b₁，化简解出即可得出．
（2）a_m+b_p=a_p+b_r=a_r+b_m，即a_p-a_m=b_p-b_r，可得（p-m）d=b_m（q^p-m-q^r-m），同理可得：（r-p）d=b_m（q^r-m-1）．由m，p，r成等差数列，可得p-m=r-p=$\frac{1}{2}$（r-m），记q^p-m=t，解得t=$\frac{1}{2}$．即q^p-m=$\frac{1}{2}$，由-1＜q＜0，记p-m=α，α为奇数，由公差大于1，α≥3．可得|q|=$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{α}}$≥$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$，即q$≤-（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$，即可得出．
（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a_n=$（-\frac{1}{2}）^{m-1}$$（\frac{3}{8}n-\frac{3}{8}m-1）$，m∈N^*．

解答解：（1）∵a₁+b₂=a₂+b₃=a₃+b₁，∴a₁+b₁q=${a}_{1}+d+{b}_{1}{q}^{2}$=a₁+2d+b₁，化为：2q²-q-1=0，q≠±1．
解得q=-$\frac{1}{2}$．
（2）a_m+b_p=a_p+b_r=a_r+b_m，即a_p-a_m=b_p-b_r，∴（p-m）d=b_m（q^p-m-q^r-m），
同理可得：（r-p）d=b_m（q^r-m-1）．
∵m，p，r成等差数列，∴p-m=r-p=$\frac{1}{2}$（r-m），记q^p-m=t，则2t²-t-1=0，
∵q≠±1，t≠±1，解得t=$\frac{1}{2}$．即q^p-m=$\frac{1}{2}$，∴-1＜q＜0，
记p-m=α，α为奇数，由公差大于1，∴α≥3．
∴|q|=$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{α}}$≥$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$，即q$≤-（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$，
当α=3时，q取得最大值为-$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$．
（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a_n=$（-\frac{1}{2}）^{m-1}$$（\frac{3}{8}n-\frac{3}{8}m-1）$，m∈N^*．
例如E=（1，3，4），a_n=$\frac{3}{8}n-\frac{11}{8}$．