Question

已知：对于任意的多项式与任意复数z，整除。利用上述定理解决下列问题：

在复数范围内分解因式：；

求所有满足整除的正整数n构成的集合A。

 

Answer 1

(1)；(2) 或。

【解析】

试题分析：（1） 令，由求根公式可得两根为；（2）因为，，又一个整数除以，要么整除，要么余，要么余，故分，三种情况讨论。

试题解析：（1）令解得两个根，这里

所以

（2）记。有两个根，这里，

当时，，

，故在这种情形有，

同样可以证明，当时，有，

但当时，，故，

综上，当且仅当时，，

所以或。

考点：（1）求根公式的应用；（2）分情况讨论思想的应用，（3）复数性质的应用。