Question

已知三条直线l₁：2x-y+a=0（a＞0），直线l₂：-4x+2y+1=0和直线l₃：x+y-1=0，且l₁与l₂的距离是

7 5

10

，（1）求a的值；
（2）求l₁、l₃与x轴围成的三角形面积；
（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l₁的距离是P点到l₂的距离的

1

2

；③P点到l₁的距离与P点到l₃的距离之比是

2

：

5

？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式,直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）利用平行线之间的距离公式即可得出；
（2）分别求出l₁与l₃与交点，利用三角形的面积计算公式即可得出；
（3）利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：（1）l₂即2x-y-

1

2

=0，
∴l₁与l₂的距离d=

|a-(- 1 2 )|

22+(-1)2

=

7 5

10

．
∴

|a+ 1 2 |

5

=

7 5

10

．∴|a+

1

2

|=

7

2

．
∵a＞0，∴a=3．
（2）l₁与l₃与交于A(-

2

3

，

5

3

)，l₁交x轴于B(-

3

2

，0)，l₃交x轴于C（1，0），
∴SABC=

1

2

|AB|•|yA|=

1

2

×

5

2

×

5

3

=

25

12

．
（3）设点P（x₀，y₀），若P点满足条件②，则P点在与l₁、l₂平行的直线l′：2x-y+C=0上，
且

|C-3|

5

=

1

2

|C+ 1 2 |

5

，即C=

13

2

或C=

11

6

，
∴2x₀-y₀+

13

2

=0或2x₀-y₀+

11

6

=0；  
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有

2x0-y0+3

5

=

2

5

|x0+y0-1|

2

，
即|2x₀-y₀+3|=|x₀+y₀-1|，∴x₀-2y₀+4=0或3x₀+2=0．
由P在第一象限，∴3x₀+2=0不可能．
联立方程2x₀-y₀+

13

2

=0和x₀-2y₀+4=0，应舍去．
解得x₀=-3，y₀=

1

2

，
由2x₀-y₀+

11

6

=0，
x₀-2y₀+4=0，
解得x₀=

1

9

，y₀=

37

18

．
∴P（

1

9

，

37

18

）即为同时满足三个条件的点．

点评：本题考查了平行线之间的距离公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．