Question

已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同．
（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列，数学期望E（ξ）和方差D（ξ）．
（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）取到1个红球为止，这是目标，那么取球次数ξ的最小值为1，最大值为4，求出对应值的概率，由此能求出取球次数ξ的分布列，数学期望E（ξ）和方差D（ξ）．
（2）取出后放回，这是条件，所以每一次取到红球队的概率相同，这就相当于做了三次独立重复试验．由此得到取出红球次数η～B（3，

1

2

），从而能求出E（η）．

解答： 解：（1）由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=

3

6

=

1

2

，
P（ξ=2）=

A 1 3 A 1 3

A 2 6

=

3×3

6×5

=

3

10

，
P（ξ=3）=

A 2 3 A 1 3

A 3 6

=

3×2×3

6×5×4

=

3

20

，
P（ξ=4）=

A 3 3 A 1 3

A 4 6

=

3×2×3

6×5×4×3

=

1

20

，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	1 2	3 10	3 20	1 20

E（ξ）=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

，
D（ξ）=(1-

7

4

)2•

1

2

+（2-

7

4

）²×

3

10

+（3-

7

4

）²×

3

20

+（4-

7

4

）²×

1

20

=

63

80

．
（2）取出后放回，取球3次相当于3次独立重复试验，
∴取出红球次数η～B（3，

1

2

），
∴E（η）=3×

1

2

=

3

2

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．