题目内容

由于贺先生工作努力，作为奖励，冯老板决定赞助贺先生，对他上次定制的iphone6的屏幕进行加工．Iphone6屏幕如图所示：是一个柱体，底面ABCD中，AD∥BC，AD长度为67毫米，AD与BC的距离为2毫米，曲线AB、CD都是分别以x毫米和2毫米为长半轴和短半轴的椭圆弧（2≤x≤5，当x=2时，该曲线为圆弧）．平面BCEF的加工成本为每平方毫米1元，曲面ABF和CDE的加工总费用是2h
L
元，其中L是曲线AB的弧长，h为柱体的高．求x的值，使得加工成本最低．（椭圆周长近似公式为C=2πb+4（a-b），a＞b＞0）
考点：根据实际问题选择函数类型
专题：应用题,导数的综合应用
分析：由题意求出平面BCEF的面积和曲面ABF和CDE的面积，由面积乘以单价得到加工成本，换元后求出函数的导函数，分类得到使加工成本最低的x的值．
解答： 解：由题意可知，平面BCEF的面积为（67-2x）h，曲面ABF和CDE的面积为
1
2
[4π+4（x-2）]h．
设加工成本为y元，
则y=（67-2x）h+
1
2
[4π+4（x-2）]h•2h
1
4
(4π+4x-8)

=67h-2hx+4（x+π-2）h2•
x+π-2
．
令x+π-2=t，则x=t-π+2．
∵2≤x≤5，
∴π≤t≤3+π．
则y=4h2t
3
2
-2ht+2πh-4h，（π≤t≤3+π）．
y′=6h2
t
-2h，
由y′=6h2
t
-2h=0，得t=
4
9h2
．
即函数的极小值点为t=
4
9h2
．
当
4
9h2
＜π时，t=π，即x+π-2=π，x=2时加工成本最低．
当
4
9h2
＞3+π时，t=3+π，即x+π-2=3+π，x=5时加工成本最低．
当π≤
4
9h2
≤3+π时，t=
4
9h2
，即x+π-2=
4
9h2
，x=
4
9h2
+2-π时加工成本最低．
点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（　　）
A、{2，4，7，8}
B、∅
C、{1，3，5，6}
D、{2，4，6，8}
已知直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的两个交点分别为A，B．
（1）求A，B的坐标；
（2）点D在x轴上，使三角形ABD为等腰三角形，求点D的坐标．
5名志愿者参与3天活动，每天3人，每人至少1天，共有多少种排法？
写出终边在直线y=-x上的角的集合s，并把s中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来．
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面BCC1B1⊥底面ABC．
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已知曲线C1的方程为x2+2x+y2-4y=0．
（1）如果C1上存在P，Q两点关于直线2x+my+4对称，求m的值；
（2）设点O（0，0），在（1）的条件下，且满足
OP
•
OQ
=
8
5
的直线PQ的方程．
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到一个短轴顶点距离为
6
，焦距为4，若点A（3，0），问：过该点是否存在一条直线L，使得直线L与椭圆交于P、Q两点，且
OP
•
OQ
=0．
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（　　）
A、棱柱B、棱台
C、棱锥D、球的一部分

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