Question

已知偶函数f（x）的定义域为(-

π

2

，

π

2

)，其导数为f′（x），对任意的x∈[0，

π

2

)，都有f′（x）＞tanx•f（x）成立，则（　　）

• A、

  2

  f(

  π

  4

  )＜

  3

  f(-

  π

  6

  )＜f(-

  π

  3

  )
• B、

  3

  f(-

  π

  6

  )＜

  2

  f(

  π

  4

  )＜f(-

  π

  3

  )
• C、

  2

  f(

  π

  4

  )＜f(-

  π

  3

  )＜

  3

  f(-

  π

  6

  )
• D、f(-

  π

  3

  )＜

  3

  f(-

  π

  6

  )＜

  2

  f(

  π

  4

  )

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：先构造函数设F（x）=cosxf（x），再求导，判断出函数F（x）的单调性质，根据单调性，问题得以解决．

解答： 解：设F（x）=cosxf（x），
∴F′（x）=-sinxf（x）+cosxf′（x）=cosx[f′（x）-tanxf（x）]，
∵对任意的x∈[0，

π

2

)，都有f′（x）＞tanx•f（x）成立，
∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在[0，

π

2

）上为增函数，
∴F（

π

6

）＜F（

π

4

）＜F（

π

3

），
又f（x）为偶函数，
∴F（-

π

6

）＜F（

π

4

）＜F（-

π

3

），
即

3

f（-

π

6

）＜

2

f（

π

4

）＜f（-

π

3

），
故选：B

点评：本题主要考查了导数的运算和法则以及函数的单调性的问题，关键是构造函数，属于基础题．