Question

动圆C恒过定点F（-1，0），且与直线l：x=1相切
（1）求动圆圆心C的轨迹方程
（2）过点F作轨迹C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB、CD的中点分别为M，N，求线段MN的中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意：C到点F（-1，0）距离与C到直线x=1距离相等，利用抛物线的定义，可得圆心的轨迹C方程；
（2）求出M，N的坐标，可得P的坐标，消去k，可得线段MN的中点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）由题意C到点F（-1，0）距离与C到直线x=1距离相等，所以点C的轨迹是以F为焦点，直线x+1=0为准线的抛物线，其方程为y²=4x
（2）设AB斜率为k，将AB方程与抛物线方程联立，求得M（

k2+2

k2

，

2

k

），将k换为-

1

k

得N（2k²+1，-2k），
设P（x，y），则x=1+

1

k2

+k2，y=

1

k

-k，
消去k，可得y²=x-3．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查轨迹方程，确定M，N的坐标是关键．