Question

在平面直角坐标系中，以点C（-1，3）为圆心的圆与双曲线r：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交A，B两点，若劣弧

AB

所对的圆心角为120°，则该双曲线的离心率e等于（　　）

• A、

  3

  或

  82

• B、

  2

  或

  82

• C、

  2

  或

  82

  9

• D、

  9

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：C到渐近线bx-ay=0的距离为圆的半径r，C到渐近线bx+ay=0的距离为d，由劣弧

AB

所对的圆心角为120°，可得r=2d，即3a+b=2|3a-b|，再分两种情况分别求出离心率．

解答： 解：设圆的半径为r，双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，
设C到渐近线bx-ay=0的距离为圆的半径r，
C到渐近线bx+ay=0的距离为d，
则由劣弧

AB

所对的圆心角为120°，即有rcos60°=d，
即r=2d，
由点到直线的距离公式可得

|-b-3a|

b2+a2

=2•

|-b+3a|

b2+a2

，
即为3a+b=2|3a-b|，
即有3a+b=6a-2b或3a+b=2b-6a，
即a=b或b=9a，
即c=

2

a或c=

82

a，
即有e=

c

a

=

2

或

82

．
故选B．

点评：本题综合性强，考查双曲线的渐近线、a，b，c，e的关系，点到直线的距离公式、绝对值的含义，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想和分类整合思想方法，对考生心理素质要求较高．