Question

20．如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB，A，B为切点，再过P点作圆的一条割线分别与圆交于点C、D，过AB上任一点Q作PA的平行线分别与直线AC、AD交于点E，F，证明：QE=QF．

Answer 1

分析 先证过B作PA的平行线分别与直线AC、AD交于点E'，F'，BE'=BF'．连接BC、BD．由圆的切线、割线定理、弦切角定理、平行线的性质可得∠ABC=∠PAC=∠E'，则推出△ABC∽△AE'B，得出相关边的比，然后可得∠ABF'=∠PAB=∠ADB，所以△ABF'∽△ADB，得出相关边的比，结合切线定理可得BE'=BF'，再由平行线分线段成比例即可得到结论．

解答 证明：先证过B作PA的平行线分别与直线AC、AD交于点E'，F'，
BE'=BF'．
如图，连接BC、BD．
所以∠ABC=∠PAC=∠E'，则△ABC∽△AE'B．
从而，$\frac{BE′}{BC}$=$\frac{AB}{AC}$，即BE'=$\frac{AB•BC}{AC}$=AB•$\frac{BC}{AC}$①，
∵PA∥E'F'，PA是圆的切线，
∴∠ABF'=∠PAB=∠ADB，
∴△ABF'∽△ADB，从而$\frac{BF'}{BD}$=$\frac{AB}{AD}$，
即BF'=$\frac{AB•BD}{AD}$=AB•$\frac{BD}{AD}$②，
另一方面，又因△PBC∽△PDB，△PCA∽△PAD，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{PC}{PB}$，$\frac{AC}{AD}$=$\frac{PC}{PA}$．
∵PA、PB是过圆外一点P作的圆的两条切线，
∴PA=PB，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AC}{AD}$，于是$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$③，
∴由式①、②、③即知BE'=BF'．
由平行线分线段成比例，可得QE=QF．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质定理、圆的切线、割线定理、弦切角定理、平行线的性质，本题的关键在于根据弦切角定理、平行线的性质求出角的相等关系，得出相似三角形，求出比例关系．