Question

15．已知函数f（x）=|2^x-1|，g（x）=x²-（2+3k）x+2k+1．若方程g[f（x）]=0有3个不同实根，则k的取值范围为$k=-\frac{1}{2}$或k＞0．

Answer 1

分析 利用换元法设设t=f（x），得到设t=f（x）的图象，由方程g[f（x）]=0有3个不同实根，转化为方程g（t）=0的根的公式，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．

解答 解：设t=f（x），则g（t）=0，
作出函数f（x）的图象如图：
则当t≥1时，方程t=f（x）有一个根，
当0＜t＜1时，方程t=f（x）有2个根，
当t=0时，方程t=f（x）有一个根，
若方程g[f（x）]=0有3个不同实根等价于方程g（t）=0，
即t²-（2+3k）t+2k+1=0有两个根t₁、t₂，其中0＜t₁＜1且t₂＞1，或0＜t₁＜1且t₂=0，
当0＜t₁＜1且t₂＞1时，即$\left\{{\begin{array}{l}{g（0）=2k+1＞0}\\{g（1）=-k＜0}\end{array}}\right.$，
∴k＞0．
当0＜t₁＜1且t₂=0时，
$k=-\frac{1}{2}$，此时$g（x）={x^2}-\frac{1}{2}x=0$的根为0和$\frac{1}{2}$，满足题意．
综上，k的取值范围为$k=-\frac{1}{2}$或k＞0．
故答案为：$k=-\frac{1}{2}$或k＞0．

点评 本题主要考查函数根的个数的判断和应用，利用换元法转化为一元二次函数根的分布问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．