已知圆C:$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1-\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$和直线$l:\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$(其中t为参数.α为直线l的倾斜角)．(Ⅰ)求圆C的极坐标方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知圆C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1-\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）和直线$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$（其中t为参数，α为直线l的倾斜角）．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）如果直线l与圆C有公共点，求α的取值范围．

分析（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式消去参数θ，即可得到圆C的标准方程．
（Ⅱ）消去参数t得到直线方程．求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径的关系，列出不等式求解即可．

解答解：（Ⅰ）圆C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1-\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），消去θ可得：（x-1）²+（y-1）²=2，
即x²+y²-2x-2y=0，ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0．
所以$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$…（5分）
（Ⅱ）当$α=\frac{π}{2}$时，直线与圆没有公共点
当$α≠\frac{π}{2}$时，直线方程为y-1=tanα（x+1）即tanα•x-y+（tanα+1）=0
当直线与圆有公共点时，$\frac{|2tanα|}{{\sqrt{{{tan}^2}α+1}}}≤\sqrt{2}$，解得-1≤tanα≤1
∵α∈[0，π），∴α的取值范围是$[0，\frac{π}{4}]∪[\frac{3π}{4}，π）$． …（10分）

点评本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，普通方程与极坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式的应用．