Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}x+1，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$且方程f（x）=ax恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，作出图象从而求出a的取值范围．

解答 解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，a表示直线y=ax的斜率，
作函数f（x）的图象如右图，
当x＞1时，当y=ax与f（x）=lnx，相切时，只有一个交点，
此时f′（x）=$\frac{1}{x}$，设切点为（x₀，y₀），k=$\frac{1}{x_0}$，
∴切线方程为y-y₀=$\frac{1}{x_0}$（x-x₀），而切线过原点，
∴y₀=1，x₀=e，k=$\frac{1}{e}$，
∴直线y=ax的斜率为k=$\frac{1}{e}$，
又∵直线l₂与y=$\frac{1}{3}$x+1平行，f（x）与y=ax有两个交点，满足条件．
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$），
故答案为：[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）

点评 本题考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．