Question

12．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α为参数，且α∈[π，2π]），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）求C₁的极坐标方程与C₂的直角坐标方程；
（2）若P是C₁上任意一点，过点P的直线l交C₂于M，N两点，求|PM|•|PN|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁的参数方程，消去参数可得普通方程x²+y²=1，由于π≤α≤2π，可得-1≤x≤1，-1≤y≤0，即可得出直角坐标方程与极坐标方程．曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ即ρ²=2ρsinθ，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则-1≤y₀≤0，直线l的倾斜角为α，可得直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}+tcosα}\\{y={y_0}+tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数）．代入C₂的直角坐标方程得t²+[2x₀cosα+2sinα（y₀-1）]t+1-2y₀=0，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1-2y₀|，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α为参数，且α∈[π，2π]），消去参数可得x²+y²=1，
∵π≤α≤2π，∴-1≤x≤1，-1≤y≤0，
∴曲线C₁是x²+y²=1在x轴下方（包括x轴上的两点）的部分，∴曲线C₁的极坐标方程为ρ=1（π≤θ≤2π）．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ即ρ²=2ρsinθ，可得：曲线C₂的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则-1≤y₀≤0，直线l的倾斜角为α，
则直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}+tcosα}\\{y={y_0}+tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数）．
代入C₂的直角坐标方程得${（{x_0}+tcosα）^2}+{（{y_0}+tsinα-1）^2}=1$，
即t²+[2x₀cosα+2sinα（y₀-1）]t+1-2y₀=0，
由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1-2y₀|，
∵-1≤y₀≤0，∴|PM|•|PN|∈[1，3]．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．