Question

若定义在R上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈R，都有：f（x+y）=f（x）+f（y）-1；
②当x＜0时，f（x）＞1．
（Ⅰ）试判断函数f（x）-1的奇偶性；
（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若不等式f（a²-2a-7）+

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＞0的解集为{a|-2＜a＜4}，求f（5）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）-1x=y=0得f（0）=1，再由函数奇偶性的定义验证f（-x）-1与-[f（x）-1]的关系，即可；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，求f（x₂）-f（x₁）的差的符号，有定义法判断出单调性；
（Ⅲ）由题设，将f(a2-2-7)＞-

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=f(m)，再由单调性得出不等式，求出参数，再求函数值．

解答： 解：（Ⅰ）令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）-1x=y=0得f（0）=1
即f（-x）-1=-[f（x）-1]，
∴f（x）-1是奇函数．…（4分）
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1
又x₁-x₂＜0．则f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁-x₂）-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0
即：f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（-∞，∞）上单调递减．…（9分）
（Ⅲ）f(a2-2-7)＞-

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=f(m)由（Ⅱ）知：a²-2a-7＜m的解集为（-2，4），
∴m=1．即：f(1)=-

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．
∴f（2）=-2f（4）=-5f(5)=f(4)+f(1)-1=-

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…（14分）

点评：本题考查抽象函数及应用，此类题根据题设与所要解决的问题，对变量进行赋值，是常用的思路．