Question

10．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x²-x）+5，其中a∈R．
（1）当a∈[-1，1]时，f'（x）≥0恒成立，求x的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令h（a）=2（x²+x-1）a+1，要使f′（x）≥0，则使h（a）≥0即可，而h（a）是关于a的一次函数，列出不等式求解即可．
（2）令g（x）=2ax²+ax-a+1，x∈（-1，+∞），
当a=0时，当a＞0时，①当$0＜a≤\frac{8}{9}$时，②当$a＞\frac{8}{9}$时，当a＜0时，求解函数的极值以及判断函数的单调性．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+a（2x-1）=$\frac{2a{x}^{2}+ax-a+1}{x+1}$，x∈（-1，+∞），（1）
令h（a）=2（x²+x-1）a+1，要使f′（x）≥0，则使h（a）≥0即可，而h（a）是关于a的一次函数，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{h（{-1}）≥0}\\{h（1）≥0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}+x≥0}\\{2{x^2}+x-2≤0}\end{array}}\right.$，解得$-\frac{{\sqrt{17}+1}}{4}≤x≤-\frac{1}{2}$或$0≤x≤\frac{{\sqrt{17}-1}}{4}$，
所以x的取值范围是$-\frac{{\sqrt{17}+1}}{4}≤x≤-\frac{1}{2}或0≤x≤\frac{{\sqrt{17}-1}}{4}$…（4分）
（2）令g（x）=2ax²+ax-a+1，x∈（-1，+∞），
当a=0时，g（x）=1，此时f（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上递增，无极值点；
当a＞0时，△=a（9a-8），
①当$0＜a≤\frac{8}{9}$时，△≤0，g（x）≥0⇒f（x）≥0，函数f（x）在（-1，+∞）上递增，无极值点；
②当$a＞\frac{8}{9}$时，△＞0，设方程2ax²+ax-a+1=0的两个根为x₁，x₂（不妨设x₁＜x₂），
因为${x_1}+{x_2}=-\frac{1}{2}$，所以${x_1}＜-\frac{1}{4}，{x_2}＞-\frac{1}{4}$，由g（-1）=1＞0，∴$-1＜{x_1}＜-\frac{1}{4}$，
所以当x∈（-1，x₁），g（x）＞0⇒f（x）＞0，函数f（x）递增；
当x∈（x₁，x₂），g（x）＜0⇒f（x）＜0，函数f（x）递减；
当x∈（x₂，+∞），g（x）＞0⇒f（x）＞0，函数f（x）递增；因此函数有两个极值点，
当a＜0时，△＞0，由g（-1）=1＞0，可得x₁＜-1，
所以当x∈（-1，x₂），g（x）＞0⇒f（x）＞0，函数f（x）递增；
当x∈（x₂，+∞），g（x）＜0⇒f（x）＜0，函数f（x）递减；因此函数有一个极值点，
综上，当a＜0时，函数有一个极值点；
当$0≤a≤\frac{8}{9}$时，函数无极值点；
当$a＞\frac{8}{9}$时，函数有两个极值点…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用函数的极值，考查计算能力．