Question

3．如图，已知∠BAC=$\frac{π}{3}$，正△PMN的顶点M、N分别在射线AB、AC上运动，P在∠BAC的内部，MN=2，M、P、N按逆时针方向排列，设∠AMN=θ．
（1）求AM（用θ表示）；
（2）当θ为何值时PA最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）在△AMN中，由正弦定理可得：$\frac{AM}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{MN}{sin\frac{π}{3}}$，代入化简即可得出．
（II）在△AMP中，由余弦定理可得：AP²=AM²+2²-4AMcos∠AMP，代入化简整理即可得出．

解答 解：（1）在△AMN中，由正弦定理可得：$\frac{AM}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{MN}{sin\frac{π}{3}}$，
∴AM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$sin（\frac{2π}{3}-θ）$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$sin（\frac{π}{3}+θ）$．
（II）在△AMP中，由余弦定理可得：
AP²=AM²+2²-4AMcos∠AMP=$\frac{16}{3}si{n}^{2}（\frac{π}{3}+θ）$+4-$\frac{16}{3}sin（\frac{π}{3}+θ）$$cos（\frac{π}{3}+θ）$
=$\frac{8}{3}（1-cos（2θ+\frac{2π}{3}））$+4-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$sin（2θ+\frac{2π}{3}）$
=$-\frac{8}{3}$$[\sqrt{3}sin（2θ+\frac{2π}{3}）+cos（2θ+\frac{2π}{3}）]$+$\frac{20}{3}$
=$\frac{20}{3}$-$\frac{16}{3}$$sin（2θ+\frac{5π}{6}）$，θ∈$（0，\frac{2π}{3}）$．
当且仅当$2θ+\frac{5π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$时，|AP|_max=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．