题目内容

6．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}t\\ y=t-\sqrt{3}\end{array}\right.$，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）求直线l与曲线C的交点的直角坐标．

分析 （1）直线l的参数方程消去参数t能求出直线l的直角坐标方程；曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C的普通方程．
（2）曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，与直线联立方程组，由此能求出直线l与曲线C的交点的直角坐标．

解答 解：（1）因为直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}t\\ y=t-\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴$t=y+\sqrt{3}$，代入$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}t$，
∴$3x-\sqrt{3}y=3$，即$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
∴直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，
∴曲线C的普通方程x2+y2=2x，即x2-2x+y2=0．
（2）曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0\\{（{x-1}）^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$，
∴直线l与曲线C的交点的直角坐标为$（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），（{\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．

点评 本题考查直线的直角坐标方程、曲线的普通方程的求法，考查直线与曲线的交点的直角坐标的求法，涉及到极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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