Question

19．设F₁、F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C的右支上的点，射线PQ平分∠F₁PF₂交x轴于点Q，过原点O作PQ的平行线交PF₁于点M，若|MP|=$\frac{1}{4}$|F₁F₂|，则C的离心率为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 3
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 运用极限法，设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，此时PM→AO，即|PM|→a，结合离心率公式即可计算得到．

解答 解：设双曲线的右顶点为A，
考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，
此时PM→AO，即|PM|→a，
特别地，当P与A重合时，|PM|=a．
由|MP|=$\frac{1}{4}$|F₁F₂|=$\frac{1}{2}$c，
即有a=$\frac{1}{2}$c，
由离心率公式e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，注意极限法的运用，属于中档题．