Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：S_n=

1

2

n²+

1

2

n．数列{b_n}满足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：1≤T_n＜4．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a_n与s_n的关系求得a_n，由等比数列的定义求得b_n；
（Ⅱ）利用错位相减法求得T_n，进行放缩即得结论成立．

解答： 解：（Ⅰ）当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n；当n=1时，求得a₁=S₁=1．
所以a_n=n．
因为

bn

bn-1

=

1

2

且b₁=1，
所以bn=(

1

2

)n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知cn=n•(

1

2

)n-1．
所以Tn=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，
于是

1

2

Tn=1+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，
化简，得Tn=4-

2n+4

2n

．
因为

2n+4

2n

＞0，所以T_n＜4．
又因为Tn+1-Tn=

n+1

2n

＞0，所以T_n＞T_n-1＞…＞T₁=1．
综上，1≤Tn＜4．…（12分）

点评：本题主要考查了数列通项公式及数列求和的方法，属常规题目，属中档题．