Question

1．已知函数f（x）=cos（2x+φ），且${∫}_{0}^{\frac{2}{3}π}$f（x）dx=0，则下列说法正确的是（　　）

• A． f（x）的一条对称轴为x=$\frac{5π}{12}$
• B． 存在φ使得f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上单调递减
• C． f（x）的一个对称中心为（$\frac{5π}{12}$，0）
• D． 存在φ使得f（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]上单调递增

Answer 1

分析 利用f（x）=cos（2x+φ），${∫}_{0}^{\frac{2}{3}π}$f（x）dx，求出φ值，然后找出分析选项，即可得出结论．

解答 解：f（x）=cos（2x+φ），${∫}_{0}^{\frac{2}{3}π}$f（x）dx=$\frac{1}{2}$sin（2x+φ）${|}_{0}^{\frac{2π}{3}}$=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{4π}{3}$+φ）+$\frac{1}{2}$sinφ=0，
∴tanφ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得φ=-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{6}$+kπ=nπ，n∈Z，可得x=$\frac{1}{2}$（n-k）π+$\frac{π}{12}$，
令$\frac{1}{2}$（n-k）π+$\frac{π}{12}$=$\frac{5}{12}$π，$\frac{n-k}{2}$=$\frac{1}{3}$，矛盾；
令2mπ≤2x-$\frac{π}{6}$+kπ≤π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[$\frac{7}{12}π$+mπ，$\frac{13}{12}π$+mπ]，不符合题意，k为偶数，单调减区间为[$\frac{π}{12}$+mπ，$\frac{7}{12}π$+mπ]，不符合题意；
令2x-$\frac{π}{6}$+kπ=$\frac{1}{2}$π+mπ，x=$\frac{π}{3}$+（m-k）$•\frac{π}{2}$=$\frac{5}{12}π$，∴$\frac{m-k}{2}$=$\frac{1}{12}$，矛盾；
令π+2mπ≤2x-$\frac{π}{6}$+kπ≤2π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[$\frac{π}{12}$+mπ，$\frac{7}{12}π$+mπ]，符合题意．
故选D．

点评 本题主要考查定积分，余弦函数的图象的性质，属于中档题．