Question

18．定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且x∈[0，2]时f（x）满足对任意的x₁，x₂∈[0，2]恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0，则（　　）

• A． f（3）＜f（-1）＜f（6）
• B． f（-1）＜f（3）＜f（6）
• C． f（6）＜f（3）＜f（-1）
• D． f（6）＜f（-1）＜f（3）

Answer 1

分析 由条件利用函数的奇偶性和单调性可得函数f（x）在[-2，2]上单调递增，f（6）=f（-2），f（3）=f（1），由此可得f（6）、f（-1）、f（3）的大小关系．

解答 解：定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=2对称，故f（x）=f（4-x），
∵x∈[0，2]时，f（x）满足对任意的x₁，x₂∈[0，2]恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0，
故函数f（x）在[0，2]上单调递增，故函数f（x）在[-2，2]上单调递增．
故f（6）=f（-2），f（3）=f（1），∵-2＜-1＜1，∴f（6）＜f（-1）＜f（3），
故选：D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题．