Question

4．已知数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项的和为S_n，若a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{a_n}+1}}{2}，{a_n}是奇数\\ 3{a_n}-1，{a_n}是偶数\end{array}$且S₃=10，则S₂₀₁₆=6720．

Answer 1

分析 对a₁与a₂分类讨论（奇数，偶数），利用递推关系可得数列的周期性，即可得出．

解答 解：（ⅰ）当a₁为奇数时，${a_2}=\frac{{{a_1}+1}}{2}$，此时若a₂为奇数，则${a_3}=\frac{{{a_2}+1}}{2}=\frac{{\frac{{{a_1}+1}}{2}+1}}{2}=\frac{{{a_1}+3}}{4}$，
∴${S_3}={a_1}+\frac{{{a_1}+1}}{2}+\frac{{{a_1}+3}}{4}=\frac{{7{a_1}+5}}{4}=10$，解得a₁=5，此时的数列{a_n}为5，3，2，5，3，2，…．
（ⅱ）当a₁为奇数时，${a_2}=\frac{{{a_1}+1}}{2}$，此时若a₂为偶数，则${a_3}=3{a_2}-1=\frac{{3（{a_1}+1）}}{2}-1=\frac{{3{a_1}+1}}{2}$，
∴${S_3}={a_1}+\frac{{{a_1}+1}}{2}+\frac{{3{a_1}+1}}{2}=3{a_1}+1=10$，解得a₁=3，此时的数列{a_n}为3，2，5，3，2，5，…；
（ⅲ）当a₁为偶数时，a₂=3a₁-1，此时a₂为奇数，则${a_3}=\frac{{{a_2}+1}}{2}=\frac{{（3{a_1}-1）+1}}{2}=\frac{{3{a_1}}}{2}$，∴${S_3}={a_1}+3{a_1}-1+\frac{{3{a_1}}}{2}=\frac{11}{2}{a_1}-1=10$，解得a₁=2，此时的数列{a_n}为2，5，3，2，5，3，…．
上述三种情况数列{a_n}均为周期数列，又672×3=2016，∴S₂₀₁₆=6720．
故答案为：6720．

点评 本题考查了数列的递推关系、分类讨论、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．