Question

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R），g（x）=-

a

x

，若至少存在一个x₀∈[1，e]，使f（x₀）＞g（x₀）成立，则实数a的范围为（　　）

• A、[λ，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、[0，+∞）
• D、（G（x），+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，即

a

2

＞

lnx

x

在[1，e]上有解，令h（x）=

lnx

x

，求出h（x）的导数，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，
∴ax＞2lnx，即

a

2

＞

lnx

x

在[1，e]上有解，
令h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴

a

2

＞h（1）=0，
∴a＞0．
∴a的取值范围是（0，+∞）．
故选：B．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．