Question

15．如图在长方形ABCD中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b，N$是CD的中点，M是线段AB上的点，$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1$．
（1）若M是AB的中点，求证：$\overrightarrow{AN}$与$\overrightarrow{CM}$共线；
（2）在线段AB上是否存在点M，使得$\overrightarrow{BD}$与$\overrightarrow{CM}$垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；
（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的最大值及取得最大值时P点的位置．

Answer 1

分析 （1）建立如图所示平面直角坐标系，得到$\overrightarrow{AN}$与$\overrightarrow{CM}$的坐标，由共线向量基本定理得答案；
（2）假设存在M，设出M的坐标，由数量积运算求得M的坐标；
（3）直接利用向量在向量方向上的投影结合图形得答案．

解答 （1）证明：如图以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），
$\overrightarrow{AN}=（1，1），\overrightarrow{CM}=（-1，-1）$，
由$\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{CM}$，可得$\overrightarrow{AN}$与$\overrightarrow{CM}$共线；
（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得$\overrightarrow{BD}$与$\overrightarrow{CM}$垂直，
设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），
$\overrightarrow{BD}=（-2，1），\overrightarrow{CM}=（t-2，-1）$，
由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CM}$=-2（t-2）-1=0，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴线段AB上存在点$M（\frac{3}{2}，0）$，使得$\overrightarrow{BD}$与$\overrightarrow{CM}$垂直；
（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影最大，
则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$有最大值为4．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．