(1)在区间[1.5]和[2.4]上分别任取一个整数.记为a.b.则方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆的概率为多少?(2)在区间[1.5]和[2.4]上分别任取一个实数.记为a.b.则方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．（1）在区间[1，5]和[2，4]上分别任取一个整数，记为a，b，则方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆的概率为多少？
（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别任取一个实数，记为a，b，则方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆的概率为多少？

分析（1）先求出区间[1，5]和[2，4]上分别任取一个整数的总的事件总数，再求出满足条件的基本事件的个数，根据概率公式即可求出，
（2）如图，求出矩形的面积为8，阴影部分的面积为$\frac{15}{4}$，根据概率公式计算即可．

解答解：（1）a可取1，2，3，4，5，b可取2，3，4，故可以构成15个曲线方程，又$\left\{\begin{array}{l}a＞b\\ \frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}a＞b\\ \frac{b}{a}＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=2\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=3\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=4\end{array}\right.$，故P=$\frac{4}{15}$；
（2）如图，a，b可构成矩形，
又$\left\{\begin{array}{l}a＞b\\ \frac{b}{a}＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a＞b\\ 2b＞a\end{array}\right.$，即阴影区域，
则$P=\frac{S_阴}{{{S_{矩形}}}}=\frac{{\frac{15}{4}}}{8}=\frac{15}{32}$．