Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=

x+m

x2+nx+1

．
（1）求m，n的值；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上为增函数；
（3）若f（x）≤

a

3

对x∈[-

1

3

，

1

3

]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数，得f（0）=0，f（-1）=-f（1）；
（2）根据增函数的定义进行证明；
（3）求函数f（x）的最大值即可．

解答： 解：∵x∈R，f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
得m=0
（1）因f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=

x+m

x2+nx+1

．
所以f（-1）=-f（1），
解得n=0，
∴m=n=0
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-x2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

(x1x22-x2x12)+(x1-x2)

(x12+1)(x22+1)

=

(x1-x2)+(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

∵-1＜x₁＜1，-1＜x₂＜1
∴-1＜x₁x₂＜1∴1-x₁x₂＞0
又x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）（8分）
∴f（x）在（-1，1）上单调递增
（3）∵∴f（x）在[-

1

3

，

1

3

]上的最大值为f（

1

3

）=

3

10

，
∴

a

3

≥

3

10

，
∴a≥

9

10

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，已经利用函数的单调性求函数的最值．