Question

已知A、B是椭圆

x2

2

+y²=1上的两点，且

AF

=λ

FB

，其中F为椭圆的右焦点．
（1）求实数λ的取值范围；
（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得

MA

•

MB

为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）当直线AB与x轴重合时，λ=3±2

2

．当直线AB不与x轴重合时，设AB：x=my+1，代入椭圆方程，并整理得（2+m²）y²+2my-1=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系结合已知条件能求出实数λ的取值范围．
（2）设M（a，0），由

MA

•

MB

=(x1-a)(x2-a)+y1y2=

(2a2-4a+1)+(a2-2)m2

2+m2

为定值，解得a=

5

4

．由此能推导出存在定点M(

5

4

，0)，使得

MA

•

MB

为定值-

7

16

．

解答： 解：（1）由已知条件知：直线AB过椭圆右焦点F（1，0）．
当直线AB与x轴重合时，λ=3±2

2

．
当直线AB不与x轴重合时，
设AB：x=my+1，代入椭圆方程，并整理得（2+m²）y²+2my-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根与系数的关系得y1+y2=

-2m

2+m2

，y1y2=

-1

2+m2

．
所以

(y1+y2)2

y1y2

=

-4m2

2+m2

∈(-4，0]．
又由

AF

=λ

FB

，得-y₁=λy₂，
所以

(y1+y2)2

y1y2

=

y12+y22+2y1y2

y1y2

=-λ-

1

λ

+2∈(-4，0]，
解之得3-2

2

＜λ＜3+2

2

．
综上，实数λ的取值范围是[3-2

2

，3+2

2

]．（7分）
（2）设M（a，0），
则

MA

•

MB

=(x1-a)(x2-a)+y1y2
=（my₁+1-a）（my₂+1-a）+y₁y₂
=(1+m2)y1y2+m(1-a)(y1+y2)+(1-a)2
=-

1+m2

2+m2

-

2m2(1-a)

2+m2

+(1-a)2
=

(2a2-4a+1)+(a2-2)m2

2+m2

为定值，
所以2a²-4a+1=2（a²-2），解得a=

5

4

．
故存在定点M(

5

4

，0)，使得

MA

•

MB

为定值-

7

16

．
经检验，当AB与x轴重合时也成立，
∴存在定点M(

5

4

，0)，使得

MA

•

MB

为定值-

7

16

．（13分）

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查是否存在定点使得向量的数量积为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．