Question

已知函数f（x）=1-2sin²

x

2

．
（Ⅰ）在区间[

π

2

，

π

2

]上任取x₀，求满足f（x₀）≥

1

2

的概率；
（Ⅱ）若f（α）=

2 2

3

，α为第四象限角，求

sin(π-2α)+cos(π+α)

tanα

的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,几何概型,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式求出f（x₀）≥

1

2

的x的范围，利用几何概型求解概率即可；
（Ⅱ）通过f（α）=

2 2

3

，α为第四象限角，利用同角三角函数的基本关系式求解sinα，利用诱导公式直接化简求解

sin(π-2α)+cos(π+α)

tanα

的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=1-2sin2

x

2

=cosx…（1分）
当x0∈[-

π

2

，

π

2

]，满足f(x0)≥

1

2

的范围是[-

π

3

，

π

3

]…（3分）
由几何概型可知满足f(x0)≥

1

2

的概率是P=

π 3 -(- π 3 )

π 2 -(- π 2 )

=

2

3

…（5分）
（Ⅱ）由题意可得cosα=

2 2

3

，α为第四象限角，所以sinα=-

1

3

，tanα=-

1

2 2

，…（7分）
所以

sin(π-2α)+cos(π+α)

tanα

=

sin2α-cosα

tanα

=

2sinαcosα-cosα

tanα

…（9分）

sin(π-2α)+cos(π+α)

tanα

=

40

9

…（10分）

点评：本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，几何概型，考查计算能力．