Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取PD中点M，连接EM，AM．由已知得四边形ABEM为平行四边形，由此能证明BE⊥CD．
（Ⅱ）连接BM，由已知条件推导出∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PBD所成的角的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM．
由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，
且EM=

1

2

DC，
又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，
故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM．
因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，
而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，
因为AM?平面PAD，于是CD⊥AM，
又BE∥AM，所以BE⊥CD．…（6分）
（Ⅱ）解：连接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，
而EM∥CD，故PD⊥EM．
又因为AD=AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，
可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，
故平面BEM⊥平面PBD．
所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，
而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，
故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．…（9分）
依题意，有PD=2

2

，而M为PD中点，
可得AM=

2

，进而BE=

2

．
故在直角三角形BEM中，tan∠EBM=

EM

BE

=

AB

BE

=

1

2

=

2

2

，
所以直线BE与平面PBD所成的角的正切值为

2

2

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．