题目内容
7．
某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1：200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：| 分数段（分） | [50，70） | [70，90） | [90，110） | [110，130） | [130，150） | 总计 |
| 频数 | b | |||||
| 频率 | a | 0.25 |
（2）求分数在[90，100）范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90，150）内为及格）；
（3）从成绩在[100，130）范围内的学生中随机选4人，求其中成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率．
分析 （1）由茎叶图中的数据以及频率=$\frac{频数}{样本容量}$的关系，求出a和b的值；
（2）求出分数在[90，150]范围内的学生人数，计算及格率（对应的频率）即可；
（3）求出分数在[100，130）和[100，110）范围内的人数，再计算成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率P=P（X=1）+P（X=2）．
解答 解：（1）由茎叶图可知分数在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，
∴a=$\frac{2}{20}$=0.1，b=3；------（4分）
（2）分数在[70，90）内的人数20×0.25=5，
结合茎叶图可得分数在[70，80）内的人数为2，
所以分数在[90，100）范围内的学生人数为4，
故数学成绩及格的学生为13人，
所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为
$\frac{13}{20}$×100%=65%；------（4分）
（3）由茎叶图可知分数在[100，130）范围内的有7人，
分数在[100，110）范围内的有4人，
则其中成绩在[100，110）内的人数最多2人的概率
P=P（X=1）+P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$+$\frac{18}{35}$=$\frac{22}{35}$．-------（12分）
点评 本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率的计算问题，是基础题目．
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（1）试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
| 甲 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 乙 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．
17．已知$\frac{1}{2}$＜a＜4，函数f（x）=x3-3bx2+a有且仅有两个不同的零点x1，x2，则|x1-x2|的取值范围是（ ）
| A． | （$\frac{1}{2}$，1） | B． | （1，2） | C． | （$\frac{3}{2}$，3） | D． | （2，3） |