Question

16£®ÒÑÖªµÈ²îÊýÁÐ{a_n}ΪµÝÔöÊýÁУ¬ÇÒa₁=1£¬{b_n}ΪµÈ±ÈÊýÁУ¬ÇÒa₂=b₂£¬a₅=b₃£¬a₁₄=b₄£®
£¨1£©Çó{a_n}£¬{b_n}µÄͨÏʽ£»
£¨2£©ÒÑÖªÊýÁÐ{c_n}Âú×㣺a_n+1=$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+¡­+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$£¬ÇóÊýÁÐ{a_n•c_n}µÄÇ°nÏîºÍS_n£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÉèµÝÔöµÈ²îÊýÁÐ{a_n}µÄ¹«²îΪd£¾0£¬ÇÒa₁=1£¬µÈ±ÈÊýÁÐ{b_n}µÄ¹«±ÈΪq£¬ÇÒa₂=b₂£¬a₅=b₃£¬a₁₄=b₄£®¿ÉµÃ1+d=b₁q£¬1+4d=${b}_{1}{q}^{2}$£¬1+13d=${b}_{1}{q}^{3}$£¬ÁªÁ¢½â³ö¼´¿ÉµÃ³ö£®
£¨2£©c_n=2¡Á3^n-1£®¿ÉµÃa_n•c_n=£¨4n-2£©•3^n-1£®ÔÙÀûÓá°´íλÏà¼õ·¨¡±ÓëµÈ±ÈÊýÁеÄÇ°nÏîºÍ¹«Ê½¼´¿ÉµÃ³ö£®

½â´ð ½â£º£¨1£©ÉèµÝÔöµÈ²îÊýÁÐ{a_n}µÄ¹«²îΪd£¾0£¬ÇÒa₁=1£¬µÈ±ÈÊýÁÐ{b_n}µÄ¹«±ÈΪq£¬ÇÒa₂=b₂£¬a₅=b₃£¬a₁₄=b₄£®
¡à1+d=b₁q£¬1+4d=${b}_{1}{q}^{2}$£¬1+13d=${b}_{1}{q}^{3}$£¬
ÁªÁ¢½âµÃd=2£¬q=3£¬b₁=1£®
¡àa_n=1+2£¨n-1£©=2n-1£¬
b_n=3^n-1£®
£¨2£©¡ßa_n+1=$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+¡­+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$£¬
¡àµ±n=1ʱ£¬a₂=$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$£¬½âµÃc₁=3£»
µ±n¡Ý2ʱ£¬a_n=$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+¡­+$\frac{{c}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$£¬¿ÉµÃa_n+1-a_n=$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=2£¬
¡àc_n=2¡Á3^n-1£®
¡àa_n•c_n=£¨4n-2£©•3^n-1£®
¡àÊýÁÐ{a_n•c_n}µÄÇ°nÏîºÍS_n=2+6¡Á3+¡­+£¨4n-2£©•3^n-1£®
3S_n=2¡Á3+6¡Á3²+¡­+£¨4n-6£©•3^n-1+£¨4n-2£©•3ⁿ£¬
¡à-2S_n=2+4£¨3+3²+¡­+3^n-1£©-£¨4n-2£©•3ⁿ=2+4¡Á$\frac{3£¨{3}^{n-1}-1£©}{3-1}$-£¨4n-2£©•3ⁿ=£¨4-4n£©•3ⁿ-4£¬
½âµÃS_n=2+£¨2n-2£©•3ⁿ£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÁ˵ÝÍƹØϵµÄÓ¦ÓᢷÖÀàÌÖÂÛ˼Ïë·½·¨¡¢·Ö×éÇóºÍ·½·¨¡¢µÈ±ÈÊýÁеÄͨÏʽ£¬¿¼²éÁËÍÆÀíÄÜÁ¦Óë¼ÆËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮