某厂家拟举行促销活动.经调查测算.该产品的年销售量x万件与年促销费用m万元满足x=3-$\frac{k}{m+1}$.如果不搞促销活动.该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要投入16万元.厂家将每件产品的价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-$\frac{k}{m+1}$（k为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家将每件产品的价格定为年平均每件产品成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）
（1）将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数
（2）该厂家年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？

分析（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：x=3-$\frac{k}{m+1}$，当m=0时，x=1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5×$\frac{8+16x}{x}$（万元），则利润y=x[1.5×$\frac{8+16x}{x}$]-（8+16x+m）整理即可．
（2）对（1）利润函数y=-[$\frac{16}{m+1}$+（m+1）]+29（m≥0），利用基本不等式求最大值即可．

解答解：（1）由题意知，当m=0时，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=3-$\frac{2}{m+1}$；
每件产品的销售价格为1.5×$\frac{8+16x}{x}$（万元），
∴利润函数y=x[1.5×$\frac{8+16x}{x}$]-（8+16x+m）
=4+8x-m=4+8（3-$\frac{2}{m+1}$）-m
=-[$\frac{16}{m+1}$+（m+1）]+29（m≥0）．
（2）因为利润函数y=-[$\frac{16}{m+1}$+（m+1）]+29（m≥0），
所以，当m≥0时，$\frac{16}{m+1}$+（m+1）≥8，
∴y≤-8+29=21，当且仅当$\frac{16}{m+1}$=m+1，即m=3（万元）时，y_max=21（万元）．
所以，该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．

点评本题考查了商品利润函数模型的应用，也考查了基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0）的灵活运用，是中档题目．

练习册系列答案

	A．	命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题是真命题
	B．	已知x∈R，则“x²-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件
	C．	“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a²+b²≠0”
	D．	命题p：?x∈R，x＞sinx的否定形式为?x∈R，x≤sinx