Question

13．在数列{a_n}中，a₁=a（a≠0，a≠1），数列{a_n}的前n项和S_n，且S_n=$\frac{a}{1-a}$（1-a_n），
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）记b_n=a_nlg|a_n|（n∈N^*），当a=-$\frac{{\sqrt{7}}}{3}$时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，都有b_n≥b_m？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=s_n-s_n-1和S_n=$\frac{a}{1-a}$（1-a_n）整理得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=a，所以：{a_n}为等比数列；
（2）根据（1）a_n=aⁿ化简得b_n．如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数．b_2k+2-b_2k=2a^2k（a²-1）（k-$\frac{{a}^{2}}{1-{a}^{2}}$）lg|a|，其中k∈N⁺，判断b_2k+2-b_2k的符号来求出m即可．

解答 解：（1）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{a}{1-a}$（1-a_n-1），
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=a，
所以{a_n}是公比为a的等比数列；
（2）∵a₁=a，∴a_n=aⁿ（n∈N^*），
∴b_n=a_nlg|a_n|=aⁿlg|aⁿ|=naⁿlg|a|（n∈N^*），
∵-1＜a＜1，
∴当n为偶数时，b_n=naⁿlg|a|＞0；当n为奇数时，b_n=naⁿlg|a|＜0，
如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数，
又b_2k+2-b_2k=2a^2k（a²-1）（k-$\frac{{a}^{2}}{1-{a}^{2}}$）lg|a|，其中k∈N^*，
当a=-$\frac{\sqrt{7}}{3}$时，a²-1=$\frac{2}{9}$，
∴2a^2k（a²-1）lg|a|＞0，又$\frac{{a}^{2}}{1-{a}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴当k＞$\frac{7}{2}$时，b_2k+2＞b_2k，即b_g＜b₁₀＜b₁₂；
当k＜$\frac{7}{2}$时，b_2k+2＜b_2k，即b₈＜b₆＜b₄＜b₂，
故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有b_n≥b_m．

点评 考查学生会确定等比数列的能力，运用数列求和的能力．