Question

7．已知函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$（a≠0）满足$\overrightarrow a$=（x²，c），$\overrightarrow b$=（1，x），且f（1）=2，令g（x）=f（x）-|λx-1|（λ＞0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=x²+cx，故f（1）=1+c=2，求出c值，可得函数f（x）的表达式；
（2）g（x）=f（x）-|λx-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（1+λ）x-1，x＜\frac{1}{λ}\\{x}^{2}+（1-λ）x+1，x≥\frac{1}{λ}\end{array}\right.$，（λ＞0）．结合二次函数的图象和性质，可得函数g（x）的单调区间；
（3）函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数即f（x）=x²+x和y=|λx-1|的图象交点的个数，数形结合，可得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（x²，c），$\overrightarrow b$=（1，x），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=x²+cx，
∵f（1）=1+c=2，
解得：c=1，
∴f（x）=x²+x，
（2）g（x）=f（x）-|λx-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（1+λ）x-1，x＜\frac{1}{λ}\\{x}^{2}+（1-λ）x+1，x≥\frac{1}{λ}\end{array}\right.$，（λ＞0）．
当λ≤2时，函数g（x）的单调递减区间为（-∞，$-\frac{1+λ}{2}$]，单调递增区间为[$-\frac{1+λ}{2}$，+∞）；
当λ＞2时，函数g（x）的单调递减区间为（-∞，$-\frac{1+λ}{2}$]，[$\frac{1}{λ}$，$\frac{λ-1}{2}$]，单调递增区间为[$-\frac{1+λ}{2}$，$\frac{1}{λ}$]，[$\frac{λ-1}{2}$，+∞）；
（3）令g（x）=f（x）-|λx-1|=0，
则f（x）=|λx-1|，
在同一坐标系中画出f（x）=x²+x和y=|λx-1|的图象如下图所示：

当λ=3时，y=3x-1与y=x²+x切于（1，2）点，
故由图可得：λ＞3时，f（x）=x²+x和y=|λx-1|的图象在区间（0，1）上有两个交点，
即函数g（x）在区间（0，1）上有两个零点
0＜λ≤3时，f（x）=x²+x和y=|λx-1|的图象在区间（0，1）上有一个交点，
即函数g（x）在区间（0，1）上有一个零点．

点评 本题考查的知识点是数形结合思想，分类讨论思想，转化思想，函数的零点个数及判断，向量的数量积，函数的单调性，难度中档．