题目内容
如图，在△ABC中，|| AB |
| AC |
（1）求
| AD |
| AB |
| AC |
（2）判断
| AE |
| AB |
| AC |
（3）若AC⊥BC，求
| AF |
| FB |
| FC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）根据向量的平行四边形法则，
=
(
+
)，所以带入即可求解．
（2）
•(
-
)是否为常数，求出来看一下就可以了．将
=
+
带入即可，因为DE⊥BC，所以
•(
-
)=
•
=0，这样便能求出它的值了．
（3）因为
+
=2
，所以
•(
+
)=2
•
，这时候，
与
共线，且都可以用
表示．设
=λ
，则
=(1-λ)
，所以带入便得到2λ(1-λ)
2，根据条件求出AD的长度即可．
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
（2）
| AE |
| AB |
| AC |
| AE |
| AD |
| DE |
| DE |
| AB |
| AC |
| DE |
| CB |
（3）因为
| FB |
| FC |
| FD |
| AF |
| FB |
| FC |
| AF |
| FD |
| AF |
| FD |
| AD |
| AF |
| AD |
| FD |
| AD |
| AD |
解答：
解：（1）
•(
-
)=
(
+
)(
-
)=
(
2-
2)=4=
(
2-
2)=4．
（2）
•(
-
)=(
+
)•(
-
)=
•(
-
)+
•
=4．
∴
•(
-
)的值是一常数．
（3）∵AC⊥BC，|
|=3，|
|=1；
∴|
|=2
，|
|=
；
∴|
|=
=
，设
=λ
，则
=(1-λ)
；
∴
•(
+
)=λ
•(2
)=λ
•[2(1-λ)
]=6λ(1-λ)=-6(λ-
)2+
；
∴λ=
时，
•(
+
)取最大值
．
| AD |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
（2）
| AE |
| AB |
| AC |
| AD |
| DE |
| AB |
| AC |
| AD |
| AB |
| AC |
| DE |
| CB |
∴
| AE |
| AB |
| AC |
（3）∵AC⊥BC，|
| AB |
| AC |
∴|
| BC |
| 2 |
| DC |
| 2 |
∴|
| AD |
| 1+2 |
| 3 |
| AF |
| AD |
| FD |
| AD |
∴
| AF |
| FB |
| FC |
| AD |
| FD |
| AD |
| AD |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴λ=
| 1 |
| 2 |
| AF |
| FB |
| FC |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查的知识点为：向量加法的平行四边形法则，两垂直向量的数量积为0，共线向量基本定理，并注意中线向量的应用．
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