Question

在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称（x，y）为整点，下列命题中正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行，又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是无理数；
④过函数y=

9-x2

图象上任意两个整点作直线，则直线的条数为3条．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：根据题意，通过列举实例的方法逐一判定每一个命题是否正确即可．

解答： 解：①令y=x+

1

2

，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以命题正确；
②若k=

2

，b=

2

，则直线y=

2

x+

2

经过（-1，0），所以命题错误；
③设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把两点代入直线l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
两式相减得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
则（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直线y=kx上且为整点，
通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，
又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立．则③不正确；
④函数y=

9-x2

图象上的整点为（-3，0），（0，3），（3，0），所以过函数y=

9-x2

图象上任意两个整点作直线，则直线的条数为3条，故正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查了直线方程的应用问题，解题时应根据题目中的要求，通过列举实例的方法，判定每一个命题是否正确，是基础题．