题目内容
用总长为18m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的相邻两边长之比为2：1，那么容器容积最大时，高为 m．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：导数的综合应用
分析：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高h=
=4.5-3x，（m）0＜x＜
，从而V′（x）=18x-18x2=18x（1-x），利用导数性质求出x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．由此能求出结果．
| 18-12x |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
解答：
解：设长方体的宽为xm，则长为2xm，
高h=
=4.5-3x，（m）0＜x＜
，…2分
故长方体的体积V（x）=2x2（4.5-3x）=9x2-6x3，0＜x＜
，
从而V′（x）=18x-18x2=18x（1-x），
令V′（x）=0，解得x=0（舍去）或x=1
当0＜x＜1时，V′（x）＞0，V（x）是增函数．
当1＜x＜
时，V′（x）＜0，V（x）是减函数，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．
从而最大体积为V（1）=3m3，
此时长方体的长为2m、宽为1m，高为1.5m．
故答案为：1.5．
高h=
| 18-12x |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
故长方体的体积V（x）=2x2（4.5-3x）=9x2-6x3，0＜x＜
| 3 |
| 2 |
从而V′（x）=18x-18x2=18x（1-x），
令V′（x）=0，解得x=0（舍去）或x=1
当0＜x＜1时，V′（x）＞0，V（x）是增函数．
当1＜x＜
| 3 |
| 2 |
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．
从而最大体积为V（1）=3m3，
此时长方体的长为2m、宽为1m，高为1.5m．
故答案为：1.5．
点评：本题考查长方体容积最大时高的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
练习册系列答案
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设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比λ=函数y=sin（x-
）的一条对称轴可以是直线（ ）
| π |
| 4 |
A、x=
| ||
B、x=
| ||
C、x=-
| ||
D、x=
|
函数y=-x2+2x+3的图象的顶点坐标是（ ）
| A、（-1，4） |
| B、（-1，-4） |
| C、（1，-4） |
| D、（1，4） |